Biçimsel bir bilim olarak matematik, mantık gibi sembolik bir dile sahiptir. Matematik, mantık gibi tam bir sembolleştirme geliştirmediği için matematiksel önermeler mantık diline çevrilir.

Matematik, sayılar, şekiller ve bunlar arasındaki ilişkileri inceleyen bir bilimdir. Sayılar ve şekiller gerçekte var olmayan, düşünsel (ideal) varlıklardır. Örneğin, doğada “bir milyar” diye gösterebileceğimiz nesne yoktur. Bu nedenle, matematik de mantık gibi biçimsel (formel) bir bilimdir.

1. Matematik Dilini Sembolleştirme

Biçimsel bir bilim olan matematik, mantık gibi sembolik bir dile sahiptir. Matematiğin dili, sayıları, şekilleri ve bunlar arasındaki ilişkileri çeşitli değişmezlerle ifade eder. Ad, yüklem ve işlem değişmezlerinden oluşan bu sisteme matematiğin özel değişmezleri denir. Matematikte her sistem için özel değişmezler kullanılır. Örneğin, doğal sayılar sisteminde;




“0,1,2,3,4, 5, 6” gibi değişmezlere ad değişmezleri,

“<, >” gibi sembollere yüklem değişmezleri,

,ı-kI^I.x,^fLgibijşaret|ereJşJem değişmezleri denir.

Matematik, mantık gibi tam bir sembolleştirme geliştirmediği için matematiksel önermelerin mantık diline çevrilmesine gerek duyulur.

Matematik dilini, mantık diline çevirmek için niceleme ve özdeşlik mantığının yanında matematiğin kendi özel değişmezleri kullanılır. Sembolleştirmede öncelikle önermenin ait olduğu sistem belirlenir. O sisteme ait olan özel değişmezler belirlenir. Son olarak mantık değişmezleri tanımlanır ve yerlerine sembolleri konulur.

2. Tanım-Aksiyom-Teorem

Ele alınan bir konuyu betimlemek ve açıklamak amacıyla öne sürülen önermelerden oluşmuş bütüne teori (kuram) adı verilir. Bir teori, tanımlar, aksiyomlar ve teoremlerden oluşur.

Doğruluğu açıkça belli olan önermelere aksiyom adı verilir.

Örneğin, A = B ve B = C ise buradan açık olarak belli olan bir sonuç çıkar:

A = Cdir. Buna aksiyom adı verilir. Kısacası, “aynı şeye eşit olanlar birbirine de eşittir” önermesi bir aksiyomdur. Aksiyomlardan türetilmiş önermelere teorem adı verilir. Teoremin doğruluğu aksiyomlara dayanarak belirlenir.